洋葱数学免费听课向量的运算,洋葱数学网课

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本文目录一览：

• 1、向量及其运算
• 2、谁有洋葱数学付费视频，求分享
• 3、向量运算
• 4、向量的运算
• 5、向量的运算，具体过程
• 6、想要在线观看洋葱数学中考一轮的直播课程，谁有免费资源链接，万分感谢

向量及其运算

向量的表示 : 以 M1 为起点、 M2 为终点的有向线段表示的向量记为 M1 M2 ， 有时也用一个黑体字母(书写时， 在字母上面加一箭头)来表示(见图1 )， 如 a 或 。

向量的模 : 向量的大小(数学上指有向线段的长度)叫作向量的模，记作|a|， 。

模为1的向量称为 单位向量 ，记作 e。

模为0的向量称为 零向量 ，记作 0。

零向量的方向可以看作是任意的。

向量 a 、 b 的始点重合， 在两向量的所在平面上， 若一个向量逆时针方向转过角度 θ后可与另一个向量正向重合(见图2)， 则称θ为 向量 a 、 b 的夹角， 记作(a， b)， 即

θ = ( ) = ( ) (0≤ θ ≤π)

如果向量 的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A′、B′(见图3)， 则u轴上的有向线段A′B′的值A′B′称为向量AB在u轴上的投影， 记作 = A′B′，u轴称为 投影轴 。

定理1

向量 在 u 轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量 的夹角 θ 的余弦，即

cos θ

a 可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量 a 、 a 和 a ， 它们称为a在 x 轴、y 轴和 z 轴的三个 分向量 ， 显然 a = a + a + a (见图4)。

若用 i 、 j 和 k 分别表示与 x 轴、 y 轴和 z 轴正向一致的三个单位向量， 称它们为 基本单位向量 ， 则有 a =( ) i ， a = ( ) j ， a = ( ) k ， 因此

a = a + a + a = ( ) i + ( ) j + ( ) k = i + j + k ， 称上式为向量 a 按 基本单位向量的分解式 或 a 的 向量表示式 。

将 、 、 称为向量 a 的 坐标 ， 记为 a = ( ， ， ) ， 也称为向量a的 坐标表示式 。

三个 分向量 ( a ， a ， a )

a = a + a + a

向量表示式

a = i + j + k

坐标表示式

a = ( ， ， )

设 a 为任意一个非零向量， 又设 为 a 与三坐标轴正向之间的夹角(0≤α， β， γ π)， 如图5所示， 则 分别为向量 a 的 方向角 。 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影， 故有

= | a | ， = | a | ， = | a | ，

其中， 称为向量 a 的 方向余弦 ， 通常用来表示向量的方向。

由模的定义， 可知向量 a 的模为

| a | = =

或

=

=

=

由此可得 即任一向量的方向余弦的平方和为 1。

单位向量

定义1 给定向量 a 与 b ， 我们将 |a| 与 |b| 及它们的夹角θ的余弦的乘积，称为向量 a 与 b 的 数量积 ， 记为 a · b ， 即

。

由定义 1 可以推出:

(1) ```````````` ( )

(2) a·a= a acos(a，a)= a ;

(3) 若 a =?0， b =?0， 则a·b=0?a⊥b?

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向量运算

原文

第1节：零向量

1.零向量的概念

对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量。例如，3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量，并且唯一一个没有方向的向量。

第2节：负向量

1.负向量的概念

对于向量x，如果x+(-x)=0，则-x就是负向量。

2.负向量的运算法则

将此法则应用到2D，3D，4D中，则

-[x y] = [-x -y]

-[x y z] = [-x -y -z]

-[w x y z] = [-w -x -y -z]

3.负向量的几何解释

向量为负表示将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。

第3节：向量的模

1.向量的模的概念

所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。

2.向量的模的运算法则

在线性代数中，向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示，如||v||，表示向量v的模。向量的模的计算公式如下：

对于2D，3D向量的如下

第4节：标量与向量的运算

1.运算法则

虽然标量与向量不能相加减，但是可以相乘，至于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。

对于2D，3D向量的如下

2.几何解释

向量乘以标量或者除以标量，相当于以因子k来缩放向量的长度。

第5节：标准化向量

1.标准化向量的概念

所谓的标准化向量就是单位向量，就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。

2.运算法则

对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量n，这个过程被称作为向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。

第6节：向量的加法和减法

1.向量的加法和减法的前提

如果两个向量的维数相同，那么他们能够相加减，运算结果的向量的维数和原向量相同。

2.运算法则

向量的加法等于两个向量的分量相加，向量的减法相当于加上一个负向量。

3.几何解释

向量的加法和减法引导出了三角形法则，即将向量的首尾相连就会得到加法的结果，如下

第7节：距离公式

1.距离公式的推导

通过上面的三角形原则，我们可以发现，通过两个向量的加减可以得到第三个向量，我们将这个过程逆置，如果知道了两点的距离，如何求出其距离，我们可以利用向量的减法实现。

2.运算公式

在3D中，已知两点a，b，求两点之间的距离d？我们可以将a，b两点看做向量，然后b-a就是向量d，然后我们再计算向量d的模就是两点间的距离

求出向量d后，再求d的模就是两点的距离

第8节：向量的点乘

1.基本概念

标量可以和向量相乘，向量也可以和向量向量相乘，这就叫点乘，也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点，向量与向量相乘必须要写点，向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意：向量点乘后的结果是标量

2.运算法则

注意：向量点乘后的结果是标量，不再是向量。

应用到2D，3D中为

a·b = axbx?+?ayby

a·b = axbx?+?ayby+?azbz

3.几何解释

向量的点乘描述的是两个向量的相似程度，即两个向量之间的夹角的大小

向量的点乘的集合运算法如下，向量的点乘结果与cos函数有关，当两个向量垂直时，向量的点乘结果为0

第9节：向量的投影

1.基本概念

给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量，一个是垂直于向量n，一个平行于向量n，平行于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。

2.投影的求解

因为向量n平行于投影向量，所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模，就可以得到投影向量，如下

我们接下来求投影的模即可，我们可以根据三角函数的余弦公式来求出投影的模

代入投影的模就可以求出投影向量

3.垂直向量的求解

根据三角形法则，可以轻易求出垂直的向量

第10节：向量的叉乘

1.基本概念

两个向量的叉乘得到是向量，且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。

2.数学运算公式

3.几何运算公式

向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关，且成正弦函数关系，如果向量a和b是平行关系，则叉乘的结果为0，因为sin0为0

4.向量叉乘方向的判断

向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手，四指弯曲符合向量叉乘的顺序，那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb，右手四指弯曲方向从a到b，大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。

向量的运算

向量的概念

日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类，这一类的量称

为向量（或矢量）。

向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方向，它的长度称为向量的模。向量常记为(a→)，(b→)或a,

b等，有时也用(A→B)表示一个向量，A是起点，B是终点。从A到B的指向表示(a→)的方向。向量(A→B)的模记作|(A→B)|。模等于零的向量叫做零向量，记作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。对于非零向量(a→)，我们用(a(0)→)表示a同向的单位向量，简称为a的单位向量。在直角坐标系中，向量(O→M)

向量的运算，具体过程

向量：在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母（a、b、u、v），或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量的模

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

注：1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，。

2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的。

运算

设a=（x，y），b=(x1，y1)。

加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。

a+b=(x+x1，y+y1)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b?以b的结束为起点，a的结束为终点。

交换律：a+(-b)=a-b

数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。

当λ0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或反方向（λ0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或××反方向（λ0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b?/ |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)2≠a2·b2。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

向量积

定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=

a b c

x1 y1 z1

x2 y2 z2

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=－b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.

（a+b）×c=a×c+b×c.

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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